Могу предположить, что где то оборвался провод на задних фонарях(на лампочки тормозов в частности)
Были подобные приколы, когда оборвался провод на фонари заднего хода. Включаешь заднюю передачу, включается зажигание, как будто ключ в положении ON (подсветка включается и туманки) Включаешь неитралку все выключается.
Так что наверное в первую очередь проверить проводку, в 9-5 частое явление, обрыв/перетирание проводов в жгуте багажника. Багажник открыл, левее идут провода в защитном кожухе, отодвинь кожух посмотри все ли там в порядке.

Либо проводку приходящую на другие фонари.
Ну это одна из версий.